Giảm chiều dữ liệu PCA thuần NumPy bằng phân rã giá trị suy biến SVD

Mục tiêu kiến thức

• Hiểu nguyên lý phân tích thành phần chính (Principal Component Analysis - PCA).
• Sử dụng phân rã giá trị suy biến SVD (X = U Sigma V^T) thay vì tính trực tiếp ma trận hiệp phương sai X^T X để tăng độ ổn định số học.
• Chuẩn hóa dấu của vector thành phần chính theo quy ước chuẩn và tính tỷ lệ phương sai giải thích được (explained variance ratio).

Mô tả bài toán

Viết hàm pca_transform(X: np.ndarray, n_components: int) -> tuple[np.ndarray, np.ndarray, np.ndarray]:

• X: Ma trận dữ liệu kích thước (N, D) gồm N mẫu và D đặc trưng.
• Kiểm tra tính hợp lệ:
• Nếu n_components ≤ 0 hoặc n_components > D hoặc N < n_components, raise ValueError("n_components khong hop le").
• Trừ trung bình theo từng cột (Mean Centering):

X_centered = X - μ, trong đó μ = 1N ∑_i=1^N X_i.

• Phân rã SVD trên X_centered:

U, S, Vt = np.linalg.svd(X_centered, full_matrices=False).

• Vector thành phần chính (components):
• Lấy K = n_components hàng đầu tiên của Vt: components = Vt[:n_components].
• Quy ước dấu chuẩn (Deterministic Sign Convention): Với mỗi hàng k trong components, tìm phần tử có giá trị tuyệt đối lớn nhất. Nếu phần tử đó âm, nhân hàng đó và cột chiếu tương ứng với -1.
• Chiếu dữ liệu:
• X_proj = X_centered · components^T có kích thước (N, n_components).
• Tỷ lệ phương sai giải thích được (explained variance ratio):
• Phương sai của từng thành phần: var = S²N - 1 (hoặc S² / ∑ S²).
• explained_variance_ratio = (S[:n_components] ** 2) / np.sum(S ** 2).

Trả về tuple (X_proj, components, explained_variance_ratio).

Ràng buộc

• Thời gian chạy tối đa: 1000ms.
• Giới hạn bộ nhớ: 256MB.
• Dữ liệu đầu vào tuân thủ đúng kiểu dữ liệu và miền giá trị được mô tả.