Chuẩn hóa L2 trên Vector Nhúng để Tối Ưu Hóa Phép Tìm Kiếm Cosine (L2 Normalization for Inner Product Retrieval)

Mô tả bài toán

Trong các hệ thống RAG và Vector Database quy mô lớn, phép tính Cosine Similarity: CosineSim(u, v) = u · v|u|₂ |v|₂ đòi hỏi tính chuẩn L₂ lặp đi lặp lại ở mỗi truy vấn.

Nếu tất cả các vector đã được chuẩn hóa L₂ trước khi lưu trữ: u = u|u|₂, v = v|v|₂ thì phép tính Cosine Similarity quy về đúng một phép tích vô hướng đơn giản: CosineSim(u, v) = u · v giúp tăng tốc độ tìm kiếm gấp hàng chục lần trên GPU và các phần cứng chuyên dụng (như SIMD / AVX-512).

Yêu cầu

• Viết hàm l2_normalize(vectors: np.ndarray, axis: int = -1, eps: float = 1e-12) -> np.ndarray:
• Chuẩn hóa vector theo trục axis: v = v√(Σ v_i²) + epsilon.
• Hỗ trợ mảng 1D hoặc 2D.
• Viết hàm batch_cosine_similarity(query_vectors: np.ndarray, corpus_vectors: np.ndarray) -> np.ndarray:
• Chuẩn hóa cả query_vectors (Q, D) và corpus_vectors (N, D) bằng l2_normalize.
• Tính tích ma trận S = Q_norm × C_norm^T trả về ma trận độ tương đồng shape (Q, N).
• Viết hàm find_top_k_documents(query: np.ndarray, corpus: np.ndarray, k: int = 3) -> list[tuple[int, float]]:
• Trả về danh sách gồm k phần tử (doc_idx, score) có độ tương đồng cao nhất, sắp xếp giảm dần theo điểm score.

Input

• Hàm l2_normalize(vectors, axis, eps): Các tham số đầu vào chứa dữ liệu Tensor/mảng NumPy hoặc giá trị siêu tham số tương ứng.
• Hàm batch_cosine_similarity(query_vectors, corpus_vectors): Các tham số đầu vào chứa dữ liệu Tensor/mảng NumPy hoặc giá trị siêu tham số tương ứng.
• Hàm find_top_k_documents(query, corpus, k): Các tham số đầu vào chứa dữ liệu Tensor/mảng NumPy hoặc giá trị siêu tham số tương ứng.

Output

• Hàm l2_normalize: Trả về kết quả kiểu np.ndarray theo đúng đặc tả kỹ thuật và kích thước quy định.
• Hàm batch_cosine_similarity: Trả về kết quả kiểu np.ndarray theo đúng đặc tả kỹ thuật và kích thước quy định.
• Hàm find_top_k_documents: Trả về kết quả kiểu list[tuple[int, float]] theo đúng đặc tả kỹ thuật và kích thước quy định.

Ràng buộc

• Thời gian chạy tối đa: 6000ms.
• Giới hạn bộ nhớ: 512MB.
• Dữ liệu đầu vào hợp lệ theo đúng kiểu dữ liệu và miền giá trị được mô tả.

Ví dụ 1