Cơ chế Vi phân Tự động Autograd và Đồ thị Tính toán trong PyTorch

Mục tiêu kiến thức

• Hiểu cách PyTorch xây dựng đồ thị tính toán có hướng (Directed Acyclic Graph - DAG) với requires_grad=True.
• Nắm vững cơ chế lan truyền ngược (Backpropagation) qua lệnh .backward().
• Truy xuất đạo hàm riêng ∂ L∂ x qua thuộc tính x.grad.
• Đối chiếu đạo hàm của Autograd với công thức đạo hàm giải tích (Chain Rule).

Mô tả bài toán

Autograd là trái tim của mọi thuật toán học sâu. Mọi mô hình AI từ hồi quy tuyến tính đến Transformer đều sử dụng cơ chế này để cập nhật trọng số. Việc hiểu sai cách tích lũy gradient (gradient accumulation) hoặc vô tình ngắt đồ thị tính toán (.detach()) là nguyên nhân hàng đầu khiến mô hình không học được.

Yêu cầu

Cho đa thức bậc 3 có dạng: P(x) = c₀ + c₁ x + c₂ x² + c₃ x³ và hàm mất mát bình phương sai số: L(x) = (P(x) - y_target)²

Viết hàm compute_polynomial_loss_and_grad(x_val: float, coeffs: list[float], target_y: float) -> tuple[float, float, float]:

• Kiểm tra danh sách hệ số coeffs = [c0, c1, c2, c3] phải có đúng 4 phần tử. Nếu không, ném ra ngoại lệ ValueError.
• Khởi tạo một leaf tensor: x = torch.tensor(float(x_val), dtype=torch.float32, requires_grad=True, device='cpu').
• Tính giá trị dự đoán y = P(x) bằng các phép toán tensor:

y = c₀ + c₁ x + c₂ x² + c₃ x³

• Tính hàm mất mát: L = (y - y_target)².
• Gọi loss.backward() để Autograd tự động tính đạo hàm theo quy tắc dây chuyền:

∂ L∂ x = 2 (y - y_target) · (c₁ + 2 c₂ x + 3 c₃ x²)

• Trích xuất giá trị đạo hàm: grad_val = x.grad.item().
• Trả về tuple 3 giá trị kiểu float tiêu chuẩn: (float(y_hat.item()), float(loss.item()), float(grad_val)).

import torch

def compute_polynomial_loss_and_grad(x_val: float, coeffs: list[float], target_y: float) -> tuple[float, float, float]:
    pass

Ràng buộc

• Thời gian chạy tối đa: 2000ms.
• Giới hạn bộ nhớ: 256MB.
• Dữ liệu đầu vào hợp lệ theo đúng kiểu dữ liệu và miền giá trị được mô tả.